Analiza szeregów czasowych
Szeregiem czasowym nazywamy ciąg wartości zmiennej uporządkowanej zgodnie z następstwem momentu lub wartości czasu , których tego dotyczą.
Jest to zbiór obserwacji statystycznych charakteryzujących zmiany poziomu zjawiska w czasie. Poszczególne obserwacje nazywamy wyrazami tego szeregu.
Szereg czasowy zapisujemy za pomocą symbolu lub gdzie t reprezentuje kolejne momenty lub okresy czasu.
Momenty lub okresy są oznaczone kolejnymi liczbami całkowitymi np. 1992, 1993, 1994 itd.
w ogólności mogą to być dowolne liczby n, których każda następna jest większa
od poprzedniej. Zmienna czasowa jako wielkość niezależna jest zmienną ciągłą.
Zapis szeregu czasowego lub pokazuje, że należy traktować ten szereg jako funkcję czasu. Wyróżnia się dwa rodzaje szeregu czasowego.
szeregi czasowe momentów – ich wyrazy odpowiadają jednakowo odległym momentom czasu. Szeregi momentów podają stan liczbowy zbiorowości w ściśle określonych momentach lub sumę wartości pewnej zmiennej posiadanej przez jednostki populacji.
( np. liczba ludności Polski w dniu 31.12. kolejnego roku .Liczba statków polskiej floty handlowej – stan liczebny cechy tworzącej zbiorowość, pojemność statków – suma wartości cechy tworzącej zbiorowość )
Dodawanie wyrazów szeregu czasowego momentów jest pozbawione sensu.
szeregi czasowe okresów – ich wartości odpowiadają okresom czasu o jednakowej
długości. Wyrażają one poziom zjawiska lub liczbę faktów, które zaszły w kolejnych
okresach. ( np. produkcja telewizorów w Polsce, eksport owoców i warzyw. Liczba
faktów może być przedmiotem szeregu , liczba zgonów, liczba zawartych małżeństw,
liczba wypadków ).
Dodawanie wyrazów szeregu czasowego okresów jest zasadne.
Szeregi czasowe ilustrujemy za pomocą wykresów sporządzanych w układach współrzędnych ograniczonych do I - szej ćwiartki dodatnich wartości. Na osi odciętych - okresy, na osi rzędnych – wielkość zjawiska. Wykres jest liniowy.
Zagadnienia ogólne dotyczące szeregu czasowego.
Wyrazy szeregu czasowego powinny być wielkościami jednolitymi w czasie tzn. jednorodnymi i porównywalnymi. Należy to rozumieć w ten sposób, że w całym analizowanym okresie szereg powinien dotyczyć jednego i tego samego zjawiska lub zbiorowości, definiowanego i mierzonego w ten sam sposób.
Zmiany granic obszarów organizacyjnych jest powodem zerwania jednolitości w czasie.
Badanie dynamiki zjawisk w czasie.
Istnieje parę sposobów badania dynamiki zjawiska. Zadaniem tego badania jest określenie zmian zachodzących w poziomie danego zjawiska oraz kierunku , tempa i intensywności. Jednym z narzędzi badania dynamiki są wskaźniki dynamiki. Jeżeli zjawisko jest jednorodne lub właściwie zagregowane to obliczenie współczynników sprowadza się do dzielenia lub odejmowania dwóch wyrazów szeregu czasowego. Wskaźniki dynamiki mogą być wyznaczane dla dwóch wybranych okresów lub momentów lub dla całej ich sekwencji.
Jeżeli wielkość zjawiska w kolejno po sobie następujących momentach lub okresach odnosimy stale do pierwszego wybranego wyrazu szeregu to wskaźniki nazywamy jednopodstawowymi.
Jeżeli natomiast wielkość zjawiska w kolejno po sobie następujących okresach lub momentach odnosimy do wielkości zjawiska lub momentu poprzedzającego to wskaźniki nazywamy łańcuchowymi ( sekwencja zjawisk ). Jeżeli chodzi o konstrukcję wskaźników to wyróżniamy następujące:
Przyrosty absolutne - przyrost jednopodstawowy
- przyrost łańcuchowy
Przyrosty absolutne informują o ile jednostek zmieniło się ( wzrosło lub zmalało ) zjawisko w okresie lub momencie badanym względem okresu lub momentu poprzedniego lub podstawowego. Jeżeli wielkości wyrażamy w jednostkach to różnice też wyrażamy w tych samych jednostkach. Przyrosty absolutne są liczbami mianowanymi.
Przyrosty względne – - przyrost jednopodstawowy
- - przyrost łańcuchowy
Uzyskujemy je przez dzielenie przyrostów absolutnych przez wielkość zjawiska w okresie lub momencie odniesienia.
Przyrosty względne informują o ile w wyrażeniu względnym (%) zmieniło się ( wzrosło lub zmalało ) zjawisko w drugim okresie lub momencie w stosunku do okresu lub momentu podstawowego lub poprzedniego. Jeżeli zjawisko wzrosło to przyrost wyraża się liczbą dodatnią, jeżeli zmalało to przyrost wyraża się liczbą ujemną.
Przykład:
jednostek
Wzrost o 20 jednostek co stanowi 20% podstawy.
Indeksy dynamiki
Indeksy dynamiki uzyskujemy dzieląc wielkość zjawiska w danym okresie lub momencie przez wielkość zjawiska w okresie lub momencie podstawowym lub poprzednim.
- indeks jednopodstawowy
- indeks łańcuchowy.
Indeks dynamiki informuje ile razy w ujęciu względnym zjawisko w danym okresie lub momencie jest większe lub mniejsze w stosunku do okresu lub momentu podstawowego lub poprzedniego.
Przykład:
- stanowi 120 % zjawiska z poziomu 0.
Odjęcie od indeksu dynamiki liczby 1 lub 100% da odpowiedni przyrost względny.
Jeżeli zjawisko wzrasta to indeks dynamiki jest >1.
Jeżeli zjawisko spada to indeks dynamiki jest < 1.
Najczęściej stosowanymi indeksami dynamiki są indeksy dynamiki ujęte w procentach.
W Roczniku Statystycznym indeksy są uzupełniane indeksami dynamiki.
Indeks jednostkowy – 1995 = 100%
Indeks łańcuchowy – rok poprzedni = 100%
Indeksy agregatowe.
Agregatowe indeksy dynamiki
(ilość / cena)
(późniejszy okres / wcześniejsze odniesienie)
L – indeks Laspeyersa 0
P – indeks Paascha n
Tablica większa niż 2x2 nazywana jest tablicą kontyngencyjną
Jeżeli cech A i B są niezależne to zachodzi :
- liczebność teoretyczna
- cechy są niezależne
- czym większe różnice tym większa zależność
- kontyngencyjność kwadratowa
- cechy są zależne - cechy są niezależne
( cechy są niezależne)
( cechy są zależne )
stopnie swobody
- współczynnik zbieżności (korelacji) Czupurowa
rxr - tablica kwadratowa
rxs – tablice niekwadratowe
Zadanie:
Pewien produkt można wytwarzać trzema metodami produkcyjnymi. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produktów nie zależy od metody produkcji. Wylosowano niezależną próbę 276 sztuk wyrobu i otrzymano następujące wyniki badania jakości dla poszczególnych metod. Dla istotności zweryfikować hipotezę o niezależności jakości od metody produkcji i policzyć współczynnik Czupurowa.
Jakość Metoda produkcji I Metoda produkcji II Metoda produkcji III Razem
1,333 44,4 1,905 177,8 0,833 44,4
40 80 60 180
33,3 6,7 93,3 -13,3 53,3 6,7
ł 2,667 44,4 3,81 177,8 1,667 44,7
10 60 20 90
16,7 -6,7 46,7 13,3 26,6 6,7
50 140 80 270
5,991
- należy do zbioru krytycznego .
Wniosek: jakość zależy od metody produkcji. Hipotezę odrzucamy.
Zależność nie jest wysoka.
Analiza dynamiki (analiza szeregów czasowych)
Liczba abonentów telefonii cyfrowej na tysiąc ludności kształtowała się następująco:
Lata Liczba abonentów
1992 102,5 0 0 1
1993 114,7 12,2 1,119024 1,119024
1994 129,8 15,1 1,131648 1,266341
1995 148,4 18,6 1,143297 1,447805
1996 169,1 20,7 1,139488 1,649756
1997 193,1 24 1,141928 1,883902
1998 219,4 26,3 1,136199 2,140488
Suma X 116,9 X X
Jaki jest szereg czasowy (momentów) określa stan liczebny zbiorowości ( przeliczony na 1000 mieszkańców )
2.
Wykres szeregu czasowego.
Scharakteryzować dynamikę zjawiska za pomocą wskaźników indywidualnych
Przyrost absolutny łańcuchowy
Indeksy łańcuchowe (100)
Indeksy jednopodstawowe (100)
Musimy zastosować średnią geometryczną
- średni indeks zmian
wzrost abonentów
Zadanie:
W latach 1992 – 1998 liczba samochodów zarejestrowanych w tysiącach sztuk była następująca:
Lata Liczba samochodów w tys. szt.
1992 6505 0 0 1
1993 6771 266 1,040892 1,040892
1994 7153 382 1,056417 1,099616
1995 7517 364 1,050888 1,155573
1996 8054 537 1,071438 1,238125
1997 8533 479 1,059474 1,31176
1998 8891 358 1,041955 1,366795
Razem 2386 X X
wzrost ilości zarejestrowanych samochodów
Adam Mickiewicz "Dziady część III"